Po absolvovaní štúdia herectva na Vysokej škole múzických umení v Bratislave sa stal v roku 1977 členom Divadla pre deti a mládež v Trnave, kde vytvoril množstvo pozoruhodných postáv. Napr. Bobák (Faustiáda, 1981), Romeo (Romeo a Júlia, 1982), Jesenius a Plicka (Ako sme sa hľadali, 1983), Zámbor (Ako bolo, 1984), Tartuffe (Tartuffe, 1984).

V roku 1988 Štefan Kožka prešiel do Poetického súboru v Bratislave, ktorý sa neskôr zlúčil s divadlom Nová Scéna. Na divadelných doskách účinkoval v desiatkach inscenácií. V pôvodnom slovenskom muzikáli Mata Hari (2013) sa predstavil v úlohe manžela exotickej tanečnice Rudolfa McLouda, v komediálnej hre Figaro sem, Figaro tam (2011) si zahral grófa Almavivu a v známom muzikáli Fidlikant na streche (2007) alternoval hlavnú postavu s hercom Mariánom Slovákom. Diváci mohli Štefana Kožku vidieť tiež v divadelnej kriminálnej komédii Šialené nožničky (2010), v hre Ešte jeden do partie (2010) alebo v pôvodnom slovenskom muzikáli František z Assisi (2010).

Ako režisér pracoval umelec na muzikáloch Hair (2003), Muzikálový sen (2011), Cigáni idú do neba (2012), Sláva (2013), Vyhadzovači (2013), HairSpray (2014).

Účinkoval vo viacerých filmoch ako napr. Súkromná vojna (1977), Smrť šitá na mieru ((1979), Pomocník (1981), Tisícročná včela (1983), Šiesta veta (1986).
Je známy z mnohých televíznych inscenácií a seriálov - Horná Dolná, Odsúdené, Priateľky.

Predstavenia

CYRANO z predmestia	Rudo, majiteľ klubu
CYRANO Z PREDMESTIA SILVESTER 2019	Rudo, majiteľ klubu